Un grande geometra

Euclide

Euclide è vissuto intorno al 300 a.C. sotto il regno di Tolomeo I re d’Egitto, però non si hanno notizie precise sul luogo e sulla data di nascita.
Egli studiò sotto Platone ad Atene e svolse la sua attività di insegnante ad Alessandria d’Egitto.
Molte sue teorie sono state raccolte in 13 libri chiamati “Gli Elementi”, però noi ne possediamo solo 8 volumi, perché gli altri si sono distrutti nell’incendio della biblioteca di Alessandria d’Egitto.


L’opera può essere suddivisa in quattro parti:
- Le proprietà delle figure piane, le proporzioni e le applicazioni di questa teoria alle figure piane;
- l’aritmetica delle figure razionali;
- l’aritmetica dei numeri irrazionali, quadratici e riquadratici;
- la geometria solida.


Ora noi ci occuperemo della geometria solida di Euclide:


Ogni libro inizia con un gruppo di proposizioni che possono essere considerate come una specie di definizioni che servono a chiarire i concetti successivi.
Esse sono seguite da altre proposizioni che sono invece veri e propri problemi o teoremi, che si differenziano fra di loro per il modo con cui vengono enunciati e per la frase rituale con cui si chiudono: "come dovevasi fare" per i problemi, "come dovevasi dimostrare" per i teoremi.


La geometria euclidea definisce come concetti primitivi il punto, la retta e il piano e assume la veridicità di alcuni assiomi, chiamati Assiomi di Euclide.
Da questi Assiomi vengono dedotti dei teoremi, come il Teorema di Pitagora ed i teoremi della teoria proiettiva.


Euclide aveva il desiderio di rappresentare la realtà e, in particolare, gli oggetti nello spazio tridimensionale in cui viviamo.
Molti oggetti della vita reale vengono idealizzati tramite enti geometrici come il triangolo o la piramide.

Assiomi di Euclide

1)Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;

2)Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;

3)Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;

4)Tutti gli angoli retti sono uguali;

5)Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti.

È soprattutto sulla violazione di quest’ultimo postulato che si fondano 2 geometrie non – euclidee:

1) Geometria ellittica, in cui non esistono rette passanti per un punto esterno alla retta data, ad essa parallele;

2) Geometria iperbolica, in cui esistono almeno 2 rette passanti per un punto e parallele alla retta data.

Dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani, come ad esempio:
- per un punto passano infinite rette;
- per due punti distinti passa una ed una sola retta;
- per una retta nello spazio passano infiniti piani;
- per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano.

In seguito Euclide definisce altre nozioni:
- due rette nello spazio si dicono complanari quando giacciono sullo stesso piano;
- se un punto divide la retta a metà, ciascuna delle due parti si dice semiretta, la quale sarà dotata di un inizio ma non di una fine;
- la parte di retta delimitata da due punti è detta segmento.

Primo Teorema di Euclide

1) Mediante l’equivalenza tra figure:

“In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni

l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa”.

2) Mediante relazioni tra segmenti:

“In un triangolo rettangolo, il cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la propria proiezione su di essa”.

Secondo Teorema di Euclide

1) Mediante l’equiestensione tra figure:

“In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza

relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa”.

2) Mediante relazioni tra segmenti:

“In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa”.

Frammento di papiro contenente alcuni elementi della geometria di Euclide

Altre opere di Euclide

“Dati”:guida all’analisi di problemi di geometria al fine di scoprire le dimostrazioni.

“Divisione delle figure”: trentasei proporzioni riguardanti la divisione di figure piane.

“Ottica”: trattato sulla prospettiva, cioè la geometria della visione diretta.

“Fenomeni”: opera di geometria sferica ad uso degli astronomi.